Paradoks Zeno dan kalkulus differential

Orang yunani kuno memiliki  paradoks tentang hukum gerak. Misal Achilles berlari lebih cepat 10 kali dari pada kura-kura. Tetapi kenapa dia tidak pernah bisa menyusul kura-kura tersebut. Contohnya, mereka memulai lomba kura-kura tersebut berada 100 meter didepan Achilles. Ketika Achilles telah lari sepanjang 100 meter, kura-kura tersebut telah lari sebanyak 10 meter didepannya. Setiap Achilles maju 1 meter, kura-kura tersebut berlari 1 cm didepannya, dan ini terus sampai kecepatan berapapun.



Apa yang salah dalam paradoks ini?  Tidak dimasukkannya faktor waktu yang terbatas dalam paradoks ini. Bagaimana kita mengetahui jarak yang kita tempuh dalam waktu yang sangat singkat. Kita membaginya dengan waktu yang menunjukkan kecepatan. Sebuah ide yang tidak diketahui orang Yunani pada saat itu.

Idenya ditemukan oleh Newton dan Leibnitz, yaitu dengan mengambil nilai yang sangat kecil dari jarak dan waktu. kemudian di bagi, dan dilihat  apa yang terjadi pada rasio tersebut saat waktunya semakin mengecil.

Misalnya:
Sebuah bola jatuh dijatuhkan dari ketinggian, saat 0 detik bola jatuh dengan ketinggian 0 meter, saat 1 detik bola jatuh dengan jarak16 meter, pada detik kedua bola jatuh pada jarak 64 meter dan pada detik ke tiga bola jatuh dengan jarak 144 meter.maka bisa di buat persamaan kalau s (t) = 16 t^2

Berapa kecepatan bola tersebut saat tepat detik ke 5?
Pada saat 5 detik bola tersebut jaraknya 400 meter.
Pada saat 5.1 detik bola tersebut jaraknya 16.(5.1)^2 = 416.16 meter
maka dalam 0.1 detik  jaraknya  416.16 - 400 meter = 16.16 meter.
kecepatannya 16.16 m/0.1 s = 161.6 m/s

sekarang kita coba lagi dengan interval waktu yang lebih kecil misal 0.001 detik
maka saat 5.001 detik bola tersebut jaraknya 16(5.001)^2 = 400.160016.
maka dalam 0.001 detik jaraknya adalah 0.160016 kecepatannya menjadi 0.160016/0.001 = 160.016 m/s.
Sekarang bagaimana kalau kita ingin mencari kecepatan yang benar benar teliti pada detik ke 5.
maka kita ambil interval waktu yang sangat kecil dimisalkan dengan e dan detik ke lima di simbolkan dengan to.

jarak saat detik ke to + e adalah so = 16 (to + e)^2 = 16 to^2 + 32 to.e + 16e^2

maka dalam e detik  jaraknya  16to^2 -  16 to^2 + 32 to.e + 16e^2  =  32 to.e + 16e  meter.
kecepatannya ( 32 to.e + 16e^2 ) /e = 32 to + 16 e m/s

jika e sangat kecil sampai mendekati 0 maka kecepatan saat detik ke 5 dengan interval mendekati 0 adalah
32 (5) = 160 m/s.